Question

Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+1}\right)=1\). Tính giá trị biểu thức \(x^3+8y^3+2019\)

Answer 1

Lời giải:

$(x+\sqrt{x^2+1})(2y+\sqrt{4y^2+1})=1$

$\Rightarrow (x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)(2y+\sqrt{4y^2+1})=\sqrt{x^2+1}-x$

$\Leftrightarrow 2y+\sqrt{4y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x$

$\Leftrightarrow 2y+x=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{4y^2+1}(1)$
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

$x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{4y^2+1}-2y$

$\Leftrightarrow x+2y=\sqrt{4y^2+1}-\sqrt{x^2+1}(2)$

Lấy $(1)+(2)\Rightarrow x+2y=0$

$\Rightarrow 2y=-x$

Do đó:

$x^3+8y^3+2019=x^3+(2y)^3+2019=x^3+(-x)^3+2019=2019$