Question

Cho hình vuông ABCD và 1 điểm M thuộc cạnh BC khác B và C . Gọi N là giao điểm của AM và CD.Chứng minh:

\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)

 

Answer 1

Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt CD tại Q

Ta có: \(\angle MAQ+\angle MCQ=90+90=180\Rightarrow AMCQ\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle AMQ=\angle ACQ=45\) mà \(\Delta MAQ\) vuông tại A 

\(\Rightarrow\Delta MAQ\) vuông cân tại A \(\Rightarrow AM=AQ\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông \(QAN\) có \(AD\bot NQ\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AQ^2}+\dfrac{1}{AN^2}\Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)