Question

Cho hình vuông ABCD trên cạnh DC lấy điểm M trên tia đối của tia BC lấy điểm N sao cho DM=BN

a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân

b) Gọi O là trung điểm của MN Chứng minh O thuộc BD

c) Lấy F đối xứng với A qua O chứng minh tứ giác ANFM là hình vuông

Answer 1

a) Xét tam giác BAN và DAM ta có:

AB=AD(tc hv ABCD)

BN=DM(gt)

\(\widehat{ABN}=\widehat{ADM}\left(=90^o\right)\)

=> tam giác BAN=DAM(c-g-c)

=> AN=AM(2 cạnh tương ứng)

=> tam giác MAN cân tại A

Answer 2

b)

Ta có:

\(\widehat{DAM}=\widehat{BAN}\left(\Delta BAN=\Delta DAM\right)\)

\(\widehat{DAM}+\widehat{MAB}=90^o\) (tc hv ABCD)

=> \(\widehat{BAN}+\widehat{MAB}=90^o\)

=> \(\widehat{MAN}=90^o\)

Xét tam giác MAN vuông tịa A ta có:

AO là đg trung tuyến (O là trung điểm MN)

=> AO=\(\dfrac{1}{2}MN\)

Chứng minh tương tự CO=\(\dfrac{1}{2}MN\)

Mà AO=\(\dfrac{1}{2}MN\) (cmt)

Nên AO=CO

Ta có:

AB=BC(tc hv ABCD)

AO=OC(cmt)

AD=DC(tc hv ABCD)

=> B,O,D cùng thuộc đg trung trực của AC

=> B,O,D thẳng hàng

Answer 3

c) Xét tg ANFM ta có:

O là trung điểm AF(gt)

O là trung điểm MN(gt)

=> ANFM là hbh

MÀ MN vuông góc với AF(AO là đcao;F thuộc AO)

Nên ANFM là hthoi

MÀ AM=AN(tam giác MAN cân tại A)

Nên ANFM là hv