Lời giải:
a)
Theo bài ra ta có $FC=\frac{BC}{2}; EB=\frac{AB}{2}$. Mà $BC=AB$ do $ABCD$ là hình vuông
$\Rightarrow FC=EB$
Xét tam giác vuông $EBC$ và $FCD$ có:
$EB=FC$
$BC=CD$ (theo tính chất hình vuông)
$\Rightarrow \triangle EBC=\triangle FCD$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{ECB}=\widehat{FDC}$ hay $\widehat{FCM}=\widehat{MDC}$
Do đó:
$\widehat{DMC}=180^0-(\widehat{MDC}+\widehat{MCD})=180^0-(\widehat{FCM}+\widehat{MCD})=180^0-\widehat{FCD}=180^0-90^0=90^0$
$\Rightarrow CE\perp DF$
b) Gọi $N$ là trung điểm của $DC$. $AN$ cắt $DF$ tại $K$
Ta thấy $AE=\frac{AB}{2}=\frac{AC}{2}=NC$.
$AB\parallel DC$ (tính chất hình vuông) nên $AE\parallel NC$
Tứ giác $AECN$ có 2 cạnh đối song song và bằng nhau nên $AECN$ là hình bình hành.
$\Rightarrow AN\parallel EC$.
$\Rightarrow KN\parallel MC$. Theo định lý Ta-let: $\frac{DK}{KM}=\frac{DN}{NC}=1$
$\Rightarrow DK=KM$ hay $K$ là trung điểm của $DM$
Mặt khác từ kết quả phần a ta cũng suy ra $AK\perp DM$
Như vậy trong tam giác $ADM$ thì $AK$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $ADM$ là tam giác cân tại $A$, hay $AD=AM$
Ta có đpcm.
Bổ sung hình vẽ:
