Question

Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD. Gọi H là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.

a) C/m AH/HM = 2AB/CD

b) Chứng minh IK // AB.

c) Đặt AB = a, CD= b. Tính HK theo a và b

Answer 1

a. -Xét △ABH có: AB//DM (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{AB}{DM}\) (định lí Ta-let)

Mà \(DM=\dfrac{1}{2}CD\) (M là trung điểm CD).

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{AB}{\dfrac{1}{2}CD}=\dfrac{2AB}{CD}\)

b. Sửa đề: C/m HK//AB.

-Xét △ABK có: AB//CM (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{KC}=\dfrac{AB}{CM}\) (định lí Ta-let)

Mà \(CM=\dfrac{1}{2}CD\) (M là trung điểm CD).

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{KC}=\dfrac{AB}{\dfrac{1}{2}CD}=\dfrac{2AB}{CD}\)

-Xét △ABM có: \(\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{AK}{KC}\left(=\dfrac{2AB}{CD}\right)\)

\(\Rightarrow\)HK//AB.

c. -Xét △ABM có: HK//AB (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{HK}=\dfrac{AM}{HM}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{AB-HK}{HK}=\dfrac{AM-HM}{HM}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{HK}-1=\dfrac{AH}{HM}\)

Mà \(\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{2AB}{CD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{HK}=\dfrac{2AB}{CD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{HK}=\dfrac{2a}{b}\)

\(\Rightarrow HK=\dfrac{b}{a}\)