a) Xét ΔAHB có
M là trung điểm của AH(gt)
N là trung điểm của BH(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔAHB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//AB và \(MN=\frac{AB}{2}\)(Định lí 2 đường trung bình của tam giác)
Ta có: MN//AB(cmt)
AB//CD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)
Do đó: MN//CD(Định lí 3 từ vuông góc tới song song)
hay MN//CP
Ta có: \(MN=\frac{AB}{2}\)(cmt)
mà AB=CD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)
nên \(MN=\frac{CD}{2}\)
mà \(CP=\frac{CD}{2}\)(P là trung điểm của CD)
nên MN=CP
Xét tứ giác MNCP có
MN//CP(cmt)
MN=CP(cmt)
Do đó: MNCP là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Ta có: MN//AB(cmt)
AB⊥BC(ABCD là hình chữ nhật)
Do đó: MN⊥BC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔBMC có
MN là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)
BH là đường cao ứng với cạnh MC(BH⊥AC, M∈AC)
MN\(\cap\)BH={N}
Do đó: N là trực tâm của ΔBMC(Tính chất ba đường cao của tam giác)
⇒NC là đường cao ứng với cạnh MB
⇒NC⊥MB
mà NC//MP(Hai cạnh đối trong hình bình hành MNCP)
nên MB⊥MP(đpcm)
c) Xét ΔMBP vuông tại M có MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BP(I là trung điểm của BP)
nên \(MI=\frac{BP}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(IP=\frac{BP}{2}\)(I là trung điểm của BP)
nên MI=IP
Để MI-IJ<IP
thì MI-IP<IJ
hay 0<IJ(luôn đúng)
