Question

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a , góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là góc alpha . Tính thể tích hình chóp

Answer 1

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm đáy $ABCD$.

. Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông và $SO\perp (ABCD)$

\(\Rightarrow \alpha=\angle (SB, (ABCD))=\angle (SB, BO)=\angle SBO\)

Theo tính chất hình vuông:

\(BO=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{AB^2+AD^2}}{2}=\frac{\sqrt{a^2+a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow SO=\tan \angle SBO.BO=\tan \alpha.\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Do đó:

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\tan \alpha.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a^2=\tan \alpha.\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\)

Answer 2

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm đáy $ABCD$.

. Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông và $SO\perp (ABCD)$

\(\Rightarrow \alpha=\angle (SB, (ABCD))=\angle (SB, BO)=\angle SBO\)

Theo tính chất hình vuông:

\(BO=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{AB^2+AD^2}}{2}=\frac{\sqrt{a^2+a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow SO=\tan \angle SBO.BO=\tan \alpha.\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Do đó:

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\tan \alpha.\frac{a\sqrt{2}}{2}.a^2=\tan \alpha.\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\)