Question

Cho hệ phương trình :

(I) \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=7\\2x-y=4\end{matrix}\right.\)

Gọi ( x :y ) là nghiệm của hệ phương trình . Xác định giá trị của m để P = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất . Tính giá trị nhỏ nhất đó .

HELP ME !!!!!

Answer 1

ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=7\\2x-y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=7-mx\\2x-7+mx=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=7-mx\\x=\dfrac{11-mx}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=x^2+y^2=\dfrac{\left(11-mx\right)^2}{4}+\left(7-mx\right)^2\)

\(=\dfrac{121-22mx+m^2x^2}{4}+49-14mx+m^2x^2\)

\(=\dfrac{5m^2x^2-78mx+317}{4}\)

\(=\dfrac{5m^2x^2-2.\sqrt{5}mx+\dfrac{78}{2\sqrt{5}}+\dfrac{1521}{5}+\dfrac{64}{5}}{4}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}mx-\dfrac{78}{2\sqrt{5}}\right)^2+\dfrac{64}{5}}{4}\)

ta có : \(P\) nhỏ nhất khi \(\dfrac{\left(\sqrt{5}mx-\dfrac{78}{2\sqrt{5}}\right)^2+\dfrac{64}{5}}{4}\) nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}mx-\dfrac{78}{2\sqrt{5}}\right)^2+\dfrac{64}{5}\) nhỏ nhất

ta có : \(\left(\sqrt{5}mx-\dfrac{78}{2\sqrt{5}}\right)^2+\dfrac{64}{5}\ge\dfrac{64}{5}\forall mx\)

khi \(\sqrt{5}mx-\dfrac{78}{2\sqrt{5}}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{39}{5x}\)

khi đó ta có : \(P=\dfrac{\dfrac{64}{5}}{4}=\dfrac{16}{5}\)

vậy .............................................................................................