Question

Cho hệ phương trình:

(I) \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=7\\2x-y=-4\end{matrix}\right.\)

Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình. Xác định giá trị của m để P = x² + y² đạt GTNN. Tính GTNN đó

Answer 1

\(\left(I\right)\left\{{}\begin{matrix}mx+y=7\left(1\right)\\2x-y=-4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) ta được \(y=2x+4\)

Thay \(y=2x+4\) vào (1) ta có:

\(mx+2x+4=7\Leftrightarrow\left(m+2\right)x=3\)

⇒ \(x=\dfrac{3}{m+2}\)

P = \(x^2 + y^2\)= \(x^2+(2x+4)^2=x^2+4x^2+16x+16\)

P= \(5x^2+16x+16=5\bigg(x^2+\dfrac{16}{5}x\bigg)+16\)

P= \(5\bigg(x^2+2. \dfrac{8}{5}x+( \dfrac {8}{5})^2 - \big( \dfrac {8}{5} \big)^2\bigg)+16\)

P= \(5\bigg(x+ \dfrac{8}{5}\bigg)^2+16-5. \bigg(\dfrac{8}{5}\bigg)^2=5\bigg( x+ \dfrac{8}{5}\bigg)^2+ \dfrac{16}{5}\) \(\ge\dfrac{16}{5}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+\dfrac{8}{5}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-8}{5}\)

⇒ \(\dfrac{3}{m+2}=-\dfrac{8}{5}\Rightarrow m=-\dfrac{31}{8}\)

Vậy \(m=-\dfrac{31}{8} \) thì \(P_{min}=\dfrac{16}{5}\)