Question

cho hàm số (C): y=\(\dfrac{x+2}{2x+3}\). viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(y=\frac{x+2}{2x+3}\Rightarrow y'=\frac{-1}{(2x+3)^2}\)

Gọi tiếp điểm có hoành độ là $a$. Khi đó pt tiếp tuyến của $(C)$ tại tiếp điểm là:

d: \(y=f'(a)(x-a)+f(a)=\frac{-1}{(2a+3)^2}(x-a)+\frac{a+2}{2a+3}(*)\)

Từ đây ta suy ra :

\(d\cap Ox=A(2a^2+8a+6,0)\)

\(d\cap Oy=B(0, \frac{2a^2+8a+6}{(2a+3)^2})\)

Vì tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên:

\(OA=OB\Leftrightarrow |2a^2+8a+6|=|\frac{2a^2+8a+6}{(2a+3)^2}|\)

\(\Leftrightarrow |2a^2+8a+6|\left(1-\frac{1}{(2a+3)^2}\right)=0\)

Hiển nhiên $|2a^2+8a+6|\neq 0$ do $A$ khác $O$

\(\Rightarrow 1-\frac{1}{(2a+3)^2}=0\Rightarrow (2a+3)^2=1\)

\(\Rightarrow 2a+3=\pm 1\Rightarrow a=-2; a=-1\)

Thay vào $(*)$ suy ra PTTT là:
\(\left[\begin{matrix} y=-x\\ y=-x-2\end{matrix}\right.\)