Question

Cho hai số x>0,y>0 và \(\sqrt{x}\)+\(\sqrt{y}\)=1

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức E=x\(\sqrt{x}\)+y\(\sqrt{y}\)

Answer 1

Sửa đề: \(x\geq 0; y\geq 0\)

Tìm min:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x\sqrt{x}+y\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})\geq (x+y)^2\)

\((x+y)(1+1)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\)

\(\Rightarrow (x\sqrt{x}+y\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})\geq \left[\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}\right]^2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\geq \frac{1}{4}\) (do \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\) )

Vậy \(E_{\min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)

----------------

Tìm max:

Vì \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1; \sqrt{x},\sqrt{y}\geq 0\) nên \(0\leq \sqrt{x}, \sqrt{y}\leq 1\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\sqrt{x}\leq \sqrt{x}\\ y\sqrt{y}\leq \sqrt{y}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow E=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)

Vậy \(E_{\max}=1\Leftrightarrow (x,y)=(1,0)\) và hoán vị.