Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoài Ngọc Phạm

Cho các số thực \(x>1,y>1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{\sqrt{y}-1}+\frac{y}{\sqrt{x}-1}\)

 Mashiro Shiina
25 tháng 5 2019 lúc 9:50

Áp dụng bđt AM-GM:

\(P\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(\sqrt{y}-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}}=2\sqrt{\frac{x}{\sqrt{x}-1}.\frac{y}{\sqrt{y}-1}}\)

Ta có: \(\frac{x}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-4\sqrt{x}+4+4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}-1}+4\ge4\)

Tương tự với y

\(\Rightarrow P\ge8\)

\("="\Leftrightarrow x=y=4\)


Các câu hỏi tương tự
Hoài Ngọc Phạm
Xem chi tiết
Bolbbalgan4
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Kim Ngọc
Xem chi tiết
ha nguyen
Xem chi tiết
Trần Thị Tú Anh 8B
Xem chi tiết
ha nguyen
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh Trang
Xem chi tiết
Cao Chu Thiên Trang
Xem chi tiết