a. \(f\left(x\right)=x.e^x\)
\(f'\left(x\right)=e^x+x.e^x\)
\(f"\left(x\right)=e^x+e^x+x.e^x=2e^x+x.e^x\)
\(f^{\left(3\right)}\left(x\right)=2e^x+e^x+x.e^x=3e^x+x.e^x\)
b.Từ (a) ta đi đến công thức (dự đoán)
\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=ne^x+x.e^x\) (1)
Chứng minh (1) bằng quy nạp như sau :
- (1) đã đúng với \(n=1,2,3\)
- Giả sử (1) đã đúng đến n, ta phải chứng minh :
\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(n+1\right)e^x+x.e^x\) (2)
Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có :
\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)'=\left(ne^x+x.e^x\right)'=ne^x+e^x+x.e^x=\left(n+1\right)e^x+x.e^x\)
Vậy (2) đúng. Theo nguyên lí quy nạp suy ra (1) đúng với mọi \(n=1,2,3....\)
Tóm lại, ta có với mọi \(n=1,2,3....\)
\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=ne^x+x.e^x\)
