Ta có : \(f\left(x\right)=\left(ax+b\right)^{-1}\)
\(f'\left(x\right)=-a\left(ax+b\right)^{-2}\)
\(f"\left(x\right)=1.2a^2\left(ax+b\right)^{-3}\)
\(f'''\left(x\right)=-1.2.3a^2\left(ax+b\right)^{-4}\)
Dự đoán :
\(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^nn!a^n\left(ax+b\right)^{-\left(n+1\right)}\) (1)
(1) được chứng minh bằng phương pháp quy nạp sau :
- (1) đã đúng với n = 1,2,3
- Giả sử (1) đã đúng đến n. Ta sẽ chứng minh :
\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n+1}\left(n+1\right)!a^{n+1}\left(ax+b\right)^{-\left(n+2\right)}\) (2)
Thật vậy,
\(f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)'=\left[\left(-1\right)n!a^n\left(ax+b\right)^{-\left(n+1\right)}\right]'\)
\(=\left(-1\right)^nn!a^n\left[-\left(n+1\right)\right]a\left(ax+b\right)^{-\left(n+2\right)}\)
\(=\left(-1\right)^{n+1}\left(n+1\right)!a^{n+1}\left(ax+b\right)^{-\left(n+2\right)}\)
Vậy (2) đúng, tức (1) đúng
Tóm lại, ta có \(f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)n!\frac{a^n}{\left(ax+b\right)^{n+1}}\)
