Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O),(với C không trùng A với B). Gọi I là trung điểm của đoạn AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm C cắt tia OI tại điểm D.
a.Chứng minh ΔACB vuông, từ đó suy ra OI song song với BC.
b. Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c. Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB) vã vẽ BK với CD (K ∈ CD). Chứng minh CK ²= HA.HB
Lời giải:
a)
Xét $(O)$ có $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do $AB$ là đường kính) nên $\widehat{ACB}=90^0$
$\Rightarrow \triangle ACB$ vuông tại $C$
$\Rightarrow AC\perp BC(1)$
Mặt khác:
$OC=OA=R$ nên tam giác $OAC$ cân tại $O$. Do đó đường trung tuyến $OI$ đồng thời cũng là đường cao. $\Rightarrow OI\perp AC(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow OI\parallel BC$ (đpcm)
b) $DC$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow DC\perp OC$
Vì $OI\perp AC$ và cắt $AC$ tại trung điểm $I$ nên $OI$ là đường trung trực của $AC$. $D\in OI\Rightarrow DC=DA$ (tính chất đường trung trực)
$\Rightarrow \triangle DAO=\triangle DCO(c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{DAO}=\widehat{DCO}=90^0$
$\Rightarrow DA\perp OA$ nên $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$
c)
Ta có $CO\parallel BK$ (cùng vuông góc với $CD$)
$\Rightarrow \widehat{OCB}=\widehat{CBK}$ (so le trong)
Và $\widehat{CBH}=\widehat{CBO}=\widehat{OCB}$ (do tam giác $OBC$ cân tại $O$)
$\Rightarrow \widehat{CBH}=\widehat{CBK}$
$\Rightarrow \triangle CBH\sim \triangle CBK (g.g)$
$\Rightarrow \frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CB}=1\Rightarrow CH=CK$
$\Rightarrow CK^2=CH^2(*)$
Mà $CH^2=HA.HB(**)$ (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với TH tam giác $ACB$ vuông tại $C$, có đường cao $CH$)
Từ $(*); (**)\Rightarrow CK^2=HA.HB$ (đpcm)
Hình vẽ:
