Question

Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại A, gọi \(D,E\) là 2 điểm theo thứ tự nằm trên AB, AC sao cho AD = AE. Gọi K là điểm thuộc BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC k chứa điểm B vẽ I sao cho \(\widehat{EAI}=\widehat{DAK}\) và \(AI=AK\) C/m \(KE+KD\ge AB\)

Answer 1

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AD=AE\\\widehat{DAK}=\widehat{EAI}\\AK=AI\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DAK=\Delta EAI\)

\(\Rightarrow DK=EI\)

\(\Rightarrow KE+KD=KE+EI\ge KI\left(1\right)\)

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC với H thuộc BC.

\(\Rightarrow AH^2+HB^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=2AH^2\left(2\right)\)

Ta lại có \(\Delta KAI\) vuông tại A (cái này đễ thấy nha)

\(\Rightarrow AK^2+AI^2=KI^2\)

\(\Leftrightarrow KI^2=2AK^2\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) ta suy ra được:

\(AB^2=2AH^2\le2AK^2=KI^2\)

\(\Leftrightarrow AB\le KI\left(4\right)\)

Từ (1) và (4) ta có: \(KE+KD\ge AB\)