Cho \(\Delta ABC\) nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tai H.
a. Tính tổng: \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}\)
b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = \(BC^2\)
c. Chứng minh: H cách đều 3 cạnh tam giác DEF
d. Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M, N tuỳ ý sao cho HM = CN. Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
b: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có
góc EBC chug
Do đo: ΔBDH đồng dạng với ΔBEC
=>BD/BE=BH/BC
=>BH*BE=BD*BC
Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có
góc FCB chung
Do đó; ΔCDH đồng dạng với ΔCFB
=>CD/CF=CH/CB
=>CD*CB=CH*CF
BH*BE+CH*CF=BD*BC+CD*CB=BC^2
c: góc HED=góc HCD
góc HEF=góc BAD
mà góc HCD=góc BAD
nên góc HED=góc HEF
=>EH là phân giác của góc FED(1)
góc EFH=góc DAC
góc DFH=góc EBC
mà góc DAC=góc EBC
nên góc EFH=góc DFH
=>FH là phân giác của góc EFD(2)
Từ (1), (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ΔEFD
=>H cách đều ba cạnh của ΔFED
