Question

Cho \(\Delta ABC\) có Â=60, 2 phân giác của B và C cắt nhau tại O

a/ Tính BOC

b/ Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm O lần lượt trên AB, AC .Chứng minh ON = OM

Answer 1

Hình tự vẽ.

a) Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^o\)

Ta có: \(\widehat{OBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\) (OB là tia pg)

\(\widehat{OCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}\) (OC là tig pg)

\(\Rightarrow\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=30^o\)

Áp dụng t/c tổng 3 góc trong 1 t/g ta có:

\(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180^o\)

\(\Rightarrow30^o+\widehat{BOC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOC}=150^o\)

b) Hạ OH \(\perp BC\)

Xét \(\Delta OBM\) vuôn tại M và \(\Delta OBH\) vuông tại H có:

OB chung

\(\widehat{OBM}=\widehat{OBH}\) (tia pg)

\(\Rightarrow\Delta OBM=\Delta OBH\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow OM=OH\) (2 cạnh t/ư) (3)

Tương tự: \(\Delta OCN=\Delta OCH\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow ON=OH\) (t/ư) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(ON=OM\).

Answer 2

Tự vẽ hình

a) Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác vào \(\Delta\) ABC có :

\(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)

=> \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{A}\)

= 180⁰ - \(\widehat{A}=180^0-60^0=120^0\)

=> \(\frac{1}{2}.\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=\frac{1}{2}.120^0\)

=> \(\frac{1}{2}.\widehat{ABC}+\frac{1}{2}.\widehat{ACB}=60^0\) (1)

Vì BO là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{ABO}=\widehat{CBO}=\frac{1}{2}.\widehat{ABC}\) (2)

Vì CO là tia phân giác \(\widehat{ACB}\)

=> \(\widehat{ACO}=\widehat{BCO}=\frac{1}{2}.\widehat{ACB}\) (3)

Thay (2),(3) vào (1) ta được :

\(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=60^0\)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác vào \(\Delta\) BOC có :

\(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180^0\)

=> \(\widehat{BOC}=180^0-\left(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}\right)\) = 180⁰ - 60⁰

=> \(\widehat{BOC}=120^0\)

b) Xét \(\Delta\) BON vuông tại N và \(\Delta\) BOM vuông tại M có :

chung BO

\(\widehat{NBO}=\widehat{MBO}\) ( theo câu a )

=> \(\Delta\) BON = \(\Delta\) BOM ( ch-gn )

=> ON = OM ( cặp cạnh tương ứng )

=> ĐPCM

Answer 3