Question

Cho \(\Delta ABC\) có 2 trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BG và CG

a) Chứng minh MNDE là hình bình hành

b) Tìm điều kiện của \(\Delta ABC\) để MNDE là hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông

c) Chứng minh \(DE+MN=BC\)

Answer 1

a)Xét ▲ABC : D là trung điểm của AC,E là trung điểm của AB => DE là đường trung bình của ▲ABC=>ED//BC và ED=1/2BC(*)
Xét ▲GBC có GM/MB=GN/NC=1/2=>MN//BC(1) và MN=1/2 BC
▲GMN có GI/IM=GK/KN=1/2=>IK//MN(2) và IK=1/2 MN =>IK= 1/4 BC(**)
Từ (1) và (2): IK//BC =>IK//ED=>IEDK là hình thang
BD=CE(do▲ABC cân tại A)=>EK=DI(do EG=DG và KG=IG)
=>IEDK là hình thang cân
b)Từ (*) : ED=1/2BC=cm
Từ (**)IK=1/4 BC = 2.5 cm
=>DE+IK = 7.5 cm\

c) MN = ED = 1/2 BC

\(\Rightarrow\)MN + ED = \(\frac{BC}{2}\)+ \(\frac{BC}{2}\)= BC