Question

\(Cho\) dãy số 1,3,6,10,15,...,\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\),...

Chứng minh rẳng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương.

Answer 1

\(1=\dfrac{1\left(1+1\right)}{2}=1;3=\dfrac{2.\left(2+1\right)}{2};6=\dfrac{3.\left(3+1\right)}{2}\)Vậy số hạng trong ãy có dạng :

\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Tổng hai số hạng liên tiếp của dãy:

\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2+2n\right)}{2}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+1\right)2}{2}=\left(n+1\right)^2\)\(\Rightarrowđpcm\)