Cho ΔABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D,E sao cho AD=DE=EB. Qua E vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC tại N. Gọi M là trung điểm của AN. a)Chứng minh rằng: Tứ giác DMCB là hình thang cân.
b)Gọi I là giao điểm của tia BN và tia DM. Chứng minh rằng MI=BC.
c)Chứng minh rằng Δ DCI cân.
d)Chứng minh rằng MI=3MD
Cần gấp ạ!!!
a) Ta có: AD=DE(gt)
mà A,D,E thẳng hàng(gt)
nên D là trung điểm của AE
Xét ΔAEN có
D là trung điểm của AE(cmt)
M là trung điểm của AN(gt)
Do đó: DM là đường trung bình của ΔAEN(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DM//EN và \(DM=\frac{EN}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: DM//EN(cmt)
EN//BC(gt)
Do đó: DM//BC(Định lí 3 từ vuông góc tới song song)
Xét tứ giác DMCB có DM//BC(cmt)
nên DMCB là hình thang có hai đáy là DM và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang DMCB(DM//BC) có \(\widehat{DBC}=\widehat{NCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên DMCB là hình thang cân(Định nghĩa hình thang cân)
b) Ta có: DM//BC(cmt)
⇒MI//BC(I∈DM)
⇒\(\widehat{IMN}=\widehat{BCN}\)(hai góc so le trong)
Ta có: DE=EB(gt)
mà D,E,B thẳng hàng(gt)
nên E là trung điểm của DB
Xét hình thang DMCB(DM//BC) có
E là trung điểm của DB(cmt)
EN//DM//BC(cmt)
Do đó: N là trung điểm của MC(Định lí 3 về đường trung bình của hình thang)
Xét ΔNMI và ΔNCB có
\(\widehat{IMN}=\widehat{BCN}\)(cmt)
MN=CN(N là trung điểm của MC)
\(\widehat{MNI}=\widehat{CNB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNMI=ΔNCB(g-c-g)
⇒MI=CB(hai cạnh tương ứng)
c) Xét tứ giác MICB có MI//BC(cmt) và MI=BC(cmt)
nên MICB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒MB=CI(Hai cạnh đối của hình bình hành MICB)
mà MB=CD(hai đường chéo của hình thang cân DMCB)
nên CI=CD
Xét ΔCDI có CI=CD(cmt)
nên ΔCDI cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)
d) Ta có: \(DM=\frac{EN}{2}\)(cmt)
nên \(EN=2\cdot DM\)(1)
Xét hình thang DMCB(DM//CB) có
E là trung điểm của DB(cmt)
N là trung điểm của MC(cmt)
Do đó: EN là đường trung bình của hình thang DMCB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
\(\Leftrightarrow EN=\frac{DM+BC}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\cdot DM=\frac{DM+BC}{2}\)
\(\Leftrightarrow DM+BC=4\cdot DM\)
\(\Leftrightarrow BC=3\cdot DM\)
mà BC=MI(cmt)
nên \(MI=3\cdot MD\)(đpcm)
