Question

cho đa thức\(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) với a,b,c,d là các hệ số nguyên.Biết rằng, P(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên.Chứng minh rằng : a,b,c,d đeèu chia hết cho 5

Answer 1

Theo bài ra ta có:

\(P(0)=d\\P(1)=a+b+c+d\\P(-1)=-a+b-c+d\\P(2)=8a+4b+2c+d\)

đều là các số chia hết cho 5

Từ đó ta thu được:

- \(d=P(0)\ \vdots \ 5\)

- \(2b=P(1)+P(-1)-2d\ \vdots \ 5 \ \Rightarrow b\ \vdots \ 5\)

- \(6a=P(2)+2P(-1)-5b-3d\ \vdots \ 5 \ \Rightarrow \ a\ \vdots \ 5 \)

- \(c=P(1)-a-b-d \ \vdots \ 5\)

Ta được điều phải chứng minh!