Question

Cho đa thức: \(f\left(x\right)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\)

biết \(f\left(1\right)=10;f\left(2\right)=20;f\left(3\right)=30\)

\(CMR:\dfrac{f\left(12\right)+f\left(-8\right)}{10}+26=2010\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có thể viết dạng của $f(x)$ như sau:

\(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-t)+g(x)\)

Trong đó, \(t\) là một số bất kỳ nào đó và \(g(x)\) là đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng $3$

Giả sử \(g(x)=mx^3+nx^2+px\)

\(\left\{\begin{matrix} f(1)=g(1)=m+n+p=10\\ f(2)=g(2)=8m+4n+2p=20\\ f(3)=g(3)=27m+9n+3p=30\end{matrix}\right.\)

Giải hệ trên thu được \(m=0,n=0,p=10\)

Như vậy \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-t)+10x\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix} f(12)=990(12-t)+120=12000-990t\\ f(-8)=-990(-8-t)-80=7840+990t\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{f(12)+f(-8)}{10}+26=\frac{12000+7840}{10}+26=2010\) (đpcm)