Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đức Anh Lê

cho các số thực không âm a,b,c chứng minh:

1, \(a^3+b^3\)\(ab\left(a+b\right)\)

2, \(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\)\(\dfrac{1}{abc}\) (với a,b,c>0)

3, \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)≥8abc

mng tham khảo giải giúp em vớiii

Nguyễn Lê Phước Thịnh
11 tháng 4 2023 lúc 8:49

3: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\b+c>=2\sqrt{bc}\\a+c>=2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>=8abc\)

1: =>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0

=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0

=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)

Trần Tuấn Hoàng
11 tháng 4 2023 lúc 15:01

2) Áp dụng bất đẳng thức ở câu 1 ta có:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}\le\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

và \(\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta được:

\(\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=\dfrac{1}{a+b+c}.\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.


Các câu hỏi tương tự
missing you =
Xem chi tiết
Ctuu
Xem chi tiết
Giúp mik với mấy bn ơi C...
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Gay\
Xem chi tiết
Ngô Chí Vĩ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Quỳnh Như
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết