Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thu Trà

Cho các số dương x, y, z thoả mãn: \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\)

Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 4 2019 lúc 17:19

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\x+z=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

\(P=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{4}\)


Các câu hỏi tương tự
Kiều Vũ Minh Đức
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Nishimiya shouko
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết