Ta có :
\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{1+ab-1-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{1+ab-1-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)+b\left(a-b\right)\left(1+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[-a\left(1+b^2\right)+b\left(1+a^2\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(-a-ab^2+b+a^2b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[ab\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(ab-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\) (*)
Vì \(a.b=1\Rightarrow ab-1=0,\left(a-b\right)^2\ge0\)
Do đó (*) đúng . Vậy \(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\left(đpcm\right)\)
