Giải:
Vì \(a,b,c\) tỉ lệ thuân với \(x,y,z\) nên: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{y}=\dfrac{z}{c}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=\dfrac{x+y+z}{1}=x+y+z.\)
Lại có: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\left(\dfrac{x}{a}\right)^2=\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=\left(\dfrac{z}{c}\right)^2\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2_{\left(1\right)}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{1}=x^2+y^2+z^2_{\left(2\right)}.\)
Từ \(_{\left(1\right)}\) và \(_{\left(2\right)}\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right).\)
Vì a;b;c tỉ lệ thuận với x;y;z \(\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2\)
Ta lại có :
\(\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\left(đpcm\right)\)
