Question

Cho a+b+c=6.Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 phương trình sau có nghiệm: x²+ax+1=0;x²+bx+1=0;x²+cx+1=0.

Answer 1

\(x^2+ax+1=0\left(1\right)\)

\(\Delta=a^2-4\)

\(x^2+bx+1=0\left(2\right)\)

\(\Delta=b^2-4\)

\(x^2+cx+1=0\left(3\right)\)

\(\Delta=c^2-4\)

Giả sử \(a,b,c< 2\). Khi đó \(a+b+c< 6\) (trái với giả thiết).

Do đó trong 3 số a,b,c phải có một số lớn hơn hoặc bằng 2. Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge2\).

Khi đó \(\Delta\left(1\right)=a^2-4\ge2^2-4=0\) \(\Rightarrow\)Phương trình (1) có nghiệm.

Vậy ta có đpcm.