Question

Cho phương trình x² - mx + m - 4 = 0 (x là ẩn ). Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm x₁,x₂ với mọi m. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để (5x₁ - 1)(5x₂ - 1 ) < 0

Answer 1

\(\Delta=m^2-4\left(m-4\right)=\left(m^2-4m+4\right)+12=\left(m-2\right)^2+12>0;\forall m\)

Suy ra pt luôn có hai nghiệm pb với mọi m

Theo viet có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=m-4\end{matrix}\right.\)

\(\left(5x_1-1\right)\left(5x_2-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow25x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow25\left(m-4\right)-5m+1< 0\)

\(\Leftrightarrow m< \dfrac{99}{20}\)

Vậy...

Answer 2

\(\Delta=m^2-4m+16=\left(m-2\right)^2+12>0\)

\(\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-4\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(5x_1-1\right)\left(5x_2-1\right)=25x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)+1\)

\(=25\left(m-4\right)-5m+1=20m-99\)

\(\Rightarrow20m-99< 0\Rightarrow m< \dfrac{99}{20}\)