Ta có các BĐT sau: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) và \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Áp dụng các BĐT,ta có:
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)=3\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\right]\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\left(1\right)\)
và \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=2\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\dfrac{4}{3}\) (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{4}{3}\)(đpcm)
