Question

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c=1\)

Chứng minh rằng:

\(\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ca}{b+1}\le\dfrac{1}{4}\)

Answer 1

Ta có: \(\dfrac{ab}{c+1}=\dfrac{ab}{b+c+a+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại:

\(\dfrac{bc}{a+1}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right);\dfrac{ca}{b+1}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\)

Answer 2

Ta sẽ chứng minh đc BĐT :

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Thay vào ta được :

\(\dfrac{a^2}{c+1}+\dfrac{b^2}{a+1}+\dfrac{c^2}{b+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{1}{4}\)