Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTNN của M=\(M=\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^5}{c^3+a^2}+\dfrac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4\)
Mong Nguyễn Nam;Ribi Nkok Ngok;lê thị hương giang;Nguyễn Phương Trâm;soyeon_Tiểubàng giải;Nguyễn Thiều Công Thành;Phạm Tuấn Kiệt;dam quang tuan anh;Hà Minh Hiếu;Hà Minh Hiếu;Tuyển Trần Thị;Akai Haruma;Vũ Tiền Châu;Ace Legona;Nguyễn Xuân Tiến 24;Anh Triêt;F.C;Unruly Kid;Đức Minh giúp mình với ạ! Chiều mai mình nộp luôn rồi
Ta có:
\(\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^3+c^2}{4}+\dfrac{a}{2}\ge\dfrac{3a^2}{2}\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+a^4+b^4+c^4-\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\dfrac{5}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{4}{3}\left(a^3+b^3+c^3\right)-1-\dfrac{1}{4}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{13}{12}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{7}{4}\)
\(=\dfrac{5}{4}+\dfrac{13}{12}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\ge\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{13}{12}\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=\dfrac{9}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
