Cho a;b;c là các số dương thỏa mãn: \(ab+bc+ca=3\)
Chứng minh: \(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\dfrac{1}{abc}\)
Mong Akai Haruma ; Ribi Nkok Ngok ; lê thị hương giang ; Vũ Tiền Châu ; Ace Legona ; Hung nguyen giúp mình với ạ!
Mình xin cảm ơn trước!
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(3=ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq 1\Rightarrow abc\leq 1\)
Do đó:
\(\text{VT}=\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc+a^2(b+c)}+\frac{1}{abc+b^2(c+a)}+\frac{1}{abc+c^2(a+b)}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{a(ab+bc+ac)}+\frac{1}{b(ab+bc+ac)}+\frac{1}{c(ab+bc+ac)}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}=\frac{ab+bc+ac}{3abc}\)
\(\text{VT}\leq \frac{1}{abc}\) do $ab+bc+ac=3$
Vậy ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
