Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phan Anhh

Cho a + b + c = 1 (a,b,c khác 1,2). Chứng minh

\(\dfrac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\dfrac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\dfrac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\dfrac{bc+ac+ab+8}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(a-2\right)}\)

Akai Haruma
23 tháng 11 2018 lúc 0:03

Lời giải:

Vì $a+b+c=1$ nên:

\(a^2+b^2+abc-1=(a+b)^2-2ab+abc-1\)

\(=(a+b)^2-1+ab(c-2)=(1-c)^2-1+ab(c-2)\)

\(=-c(2-c)+ab(c-2)=c(c-2)+ab(c-2)=(c+ab)(c-2)\)

Do đó:

\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}=\frac{c+ab}{(c+ab)(c-2)}=\frac{1}{c-2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, suy ra:

\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\frac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\frac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\frac{1}{c-2}+\frac{1}{a-2}+\frac{1}{b-2}=\frac{(a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(c-2)(a-2)}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)

\(=\frac{ab+bc+ac-4(a+b+c)+12}{(a-2)(b-2)(c-2)}=\frac{ab+bc+ac+8}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)

Ta có đpcm.

Phan Anhh
22 tháng 11 2018 lúc 17:02

Akai Haruma


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hoa Nguyễn Lệ
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết