Question

Cho a + b + c = 1 (a,b,c khác 1,2). Chứng minh

\(\dfrac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\dfrac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\dfrac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\dfrac{bc+ac+ab+8}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(a-2\right)}\)

Answer 1

Lời giải:

Vì $a+b+c=1$ nên:

\(a^2+b^2+abc-1=(a+b)^2-2ab+abc-1\)

\(=(a+b)^2-1+ab(c-2)=(1-c)^2-1+ab(c-2)\)

\(=-c(2-c)+ab(c-2)=c(c-2)+ab(c-2)=(c+ab)(c-2)\)

Do đó:

\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}=\frac{c+ab}{(c+ab)(c-2)}=\frac{1}{c-2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, suy ra:

\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\frac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\frac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\frac{1}{c-2}+\frac{1}{a-2}+\frac{1}{b-2}=\frac{(a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(c-2)(a-2)}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)

\(=\frac{ab+bc+ac-4(a+b+c)+12}{(a-2)(b-2)(c-2)}=\frac{ab+bc+ac+8}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)

Ta có đpcm.

Answer 2

Akai Haruma