Question

Cho a,b là các số dương sao cho:

\(\dfrac{a-b\sqrt{3}}{b-c\sqrt{3}}\) là số hữu tỉ

C/m: b\(^2\) = ac

Answer 1

Ta đặt \(\dfrac{a-b\sqrt{3}}{b-c\sqrt{3}}=\dfrac{m}{n}\left(m,n\in Z;m,n\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow an-bn\sqrt{3}=bm-cm\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow an-bm=\sqrt{3}\left(bn-cm\right)\)(1)

Ta có \(an-bm,bn-cm\) là 2 số nguyên nên để (1) đúng thì

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}an=bm\\bn=cm\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\)

\(\Rightarrow b^2=ac\)