a/ \(\overrightarrow{AB}=\left(-5;4\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB có 1 vtpt là \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(4;5\right)\)
\(\Rightarrow\) phương trình đường thẳng AB có dạng:
\(4\left(x-7\right)+5\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow4x+5y-23=0\)
b/ \(\overrightarrow{BC}=\left(0;-7\right)\)
Do \(AH\perp BC\) nên đường thẳng AH nhận \(\overrightarrow{BC}\) là một vtpt, chọn \(\overrightarrow{n_{AH}}=\left(0;1\right)\)
Phương trình đường cao AH có dạng:
\(0\left(x-7\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow y+1=0\)
Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{9}{2}\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{9}{2};1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CM}=\left(\dfrac{5}{2};-5\right)\) \(\Rightarrow\) chọn \(\overrightarrow{n_{CM}}=\left(2;1\right)\) là 1 vtpt của đường thẳng CM
Phương trình trung tuyến AM:
\(2\left(x-2\right)+1\left(y+4\right)=0\Leftrightarrow2x+y=0\)
c/ \(\overrightarrow{n_{\Delta}}=\left(3;-1\right)\)
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua A và vuông góc \(\Delta\Rightarrow\overrightarrow{n_d}.\overrightarrow{n_{\Delta}}=0\)
\(\Rightarrow\) chọn \(\overrightarrow{n_d}=\left(1;3\right)\) là 1 vtpt của \(d\)
Phương trình đường thẳng d:
\(1\left(x-7\right)+3\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+3y-4=0\)
Hình chiếu vuông góc \(A'\) của A lên \(\Delta\) chính là giao điểm của d và \(\Delta\)
\(\Rightarrow\) tọa độ \(A'\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-4=0\\3x-y-12=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A'\left(4;0\right)\)
d/ \(\Delta'\perp\Delta\Rightarrow\overrightarrow{n_{\Delta'}}.\overrightarrow{n_{\Delta}}=0\Rightarrow\) chọn \(\overrightarrow{n_{\Delta'}}=\left(1;3\right)\) là 1 vtpt của \(\Delta'\)
\(\Rightarrow\) phương trình \(\Delta'\) có dạng: \(x+3y+c=0\)
\(d\left(A;\Delta'\right)=\dfrac{\left|x_A+3y_A+c\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow\left|7-3+c\right|=10\Leftrightarrow\left|c+4\right|=10\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c+4=10\\c+4=-10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=6\\c=-14\end{matrix}\right.\)
Vậy có 2 đường thẳng \(\Delta'\) thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+3y+6=0\\x+3y-14=0\end{matrix}\right.\)
