Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đỗ Linh Chi

Cho \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Tính :

\(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

Nguyễn Quang Định
19 tháng 7 2017 lúc 16:30

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]=0\)

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a+b+c=0\Rightarrow a=-\left(b+c\right);b=-\left(a+c\right);c=-\left(a+b\right)\)

\(M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(M=\left(1+\dfrac{-b-c}{b}\right)\left(1+\dfrac{-c-a}{c}\right)\left(1+\dfrac{-a-b}{a}\right)\)

\(M=\left(1-1-\dfrac{c}{b}\right)\left(1-1-\dfrac{a}{c}\right)\left(1-1-\dfrac{b}{a}\right)\)

\(M=\left(-\dfrac{c}{b}\right)\left(-\dfrac{a}{c}\right)\left(-\dfrac{b}{a}\right)=-1\)

TH2: \(a=b=c\)

\(M=\left(1+\dfrac{a}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{a}\right)=2.2.2=8\)

Nguyễn Xuân Tiến 24
19 tháng 7 2017 lúc 16:37

Do \(a^3+b^3+c^3=3abc\).

Nên ta dễ dàng cm đc: \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\)a + b = -c; b+c = -a; a + c = -b (1)

\(\Rightarrow M=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

=\(\dfrac{a+b}{b}.\dfrac{b+c}{c}.\dfrac{a+c}{a}\)(2)

Thay (1) vào (2) được:

\(M=\dfrac{-c}{b}.\dfrac{-a}{c}.\dfrac{-b}{a}=-1\)

Chúc các bn học tốtbanh


Các câu hỏi tương tự
Phan Đình Trường
Xem chi tiết
Dũng Phạm Tiến
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
noname
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
An Trịnh Hữu
Xem chi tiết
My Phạm
Xem chi tiết