Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thanh Nguyễn

Cho a>0,b>0 và a+b=1.Tìm GTNN của biểu thức:

\(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\)

Cần lời giải chi tiết dễ hiểu ạ

Trần Trung Nguyên
2 tháng 12 2018 lúc 9:59

Ta có \(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b+1}{ab}=1+\dfrac{1+1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}\)

Áp dụng bđt cosi ta có

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}\ge8\Leftrightarrow1+\dfrac{2}{ab}\ge9\Leftrightarrow A\ge9\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b=0,5\)

Vậy GTNN của A là 9 và xảy ra khi a=b=0,5

Ma Sói
2 tháng 12 2018 lúc 10:02

\(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(A=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}\)

\(A=1+\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}\)

Mà a+b=1

nên \(A=1+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}\)

Ta có:

a+b=1

Áp dụng bđt Cosi

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\)

Ta có:

\(A=1+\dfrac{2}{ab}\ge1+\dfrac{\dfrac{2}{1}}{4}=1+8=9\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\) \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
khong có
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Đoan Trang Nguyễn
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết