Question

 

Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b=1

Tìm GTNN của biểu thức A=\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)\)

Answer 1

\(A=ab+\dfrac{1}{ab}+2=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16}ab+2\)

\(A\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{16ab}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}+2=\dfrac{25}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

`A=(a+1/b)(b+1/a)`

`=ab+1+1+1/(ab)`

`=2+ab+1/(16ab)+15/(16ab)`

Áp dụng cosi

`=>ab+1/(16ab)>=1/2`

`ab<=(a+b)^2/4=1/4`

`=>16ab<=4`

`=>15/(16ab)>=15/4`

`=>A>=15/4+1/2+2=25/4`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=1/2`