Question

Cho A= n^4-4n^3-4n^2+16n với n chẵn và >4. Cm A chia hết cho 384

Answer 1

A\(=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left(n^4-4n^2\right)+\left(-4n^3+16n\right)\)

\(=n^2\left(n^2-4\right)-4n\left(n^2-4\right)\)

\(=n\left[\left(n^2-4\right)\left(n-4\right)\right]\)

\(n.\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-4\right)\)

Ta có: tích 4 số chắn liên tiếp chia hết cho 384

=> đpcm

Answer 2

n chẵn => n=2k

\(\Rightarrow A=\left(2k\right)^4-4.\left(2k\right)^3-4\left(2k\right)^2+16.2k\\ =16k^4-32k^3-16k^2+32k\\ =16k^3\left(k-2\right)-16k\left(k-2\right)\\ =\left(k-2\right)\left(16k^3-16k\right)\\ =\left(k-2\right)\left(16k\left(k^2-1\right)\right)\\ =16.\left(k-2\right)\left(k-1\right).k.\left(k+1\right)\\ \)

Tích 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3;8 nên chia hết cho 24

\(\Rightarrow A⋮16.24\\ \Rightarrow A⋮384\)