Question

Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh:

\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\)

Answer 1

Ta có: \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\)

Vậy ta chỉ cần chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\) với \(a;b;c>1\)

Thật vậy, do \(a;b;c>1\Rightarrow a+b+c-3>0\) biến đổi tương đương ta có:

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge12\left(a+b+c-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-12\left(a+b+c\right)+36\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-6\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)