Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thị Thế Ngọc

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:a+b+c=1.CMR:\(\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}\)\(\frac{1}{3}\)

Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 6 2019 lúc 22:42

Ta có đánh giá: \(\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}\ge\frac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2a^7+2b^7\ge a^7+b^7+a^5b^2+a^2b^5\)

\(\Leftrightarrow a^5\left(a^2-b^2\right)-b^5\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự \(\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}\ge\frac{b^2+c^2}{2}\) ; \(\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}\ge\frac{a^2+c^2}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Thanh Trang
Xem chi tiết
Tdq_S.Coups
Xem chi tiết
dodo
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Phương Thảo
Xem chi tiết
NBH Productions
Xem chi tiết
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
Phạm Tuấn Long
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Phương Thảo
Xem chi tiết