Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(D^2\le3\left[a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{12}+\dfrac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{4}+\dfrac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{4}\right]\)
\(\Rightarrow D^2\le3\left[a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{12}+\dfrac{6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{12}\right]\)
\(\Rightarrow D^2\le3\left[a+\dfrac{\left(b-c\right)^2+6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{12}\right]\)
Ta sẽ C/m \(\dfrac{\left(b-c\right)^2+6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{12}\le b+c\) (1)
Thật vậy \(\dfrac{\left(b-c\right)^2+6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{12}\le b+c\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2+6\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le12\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2+6b+6c+12\sqrt{bc}\le12\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\le6\left(b+c\right)-12\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\le6\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(6-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\right)\ge0\) (2)
Ta có: \(\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le2\left(b+c\right)< 2\left(a+b+c\right)=6\)
Do đó (2) đúng nên (1) đúng
\(\Rightarrow D^2\le3\left(a+b+c\right)=9\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Vậy max \(D=3\)
Trước tiên ta chứng minh:
\(\left(b-c\right)^2\le6\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(6-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\right)\ge0\) (đúng)
Áp dụng vào bài toán ta được:
\(D\le\sqrt{a+\dfrac{6\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2}{12}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(=\sqrt{a+\dfrac{b+c-2\sqrt{bc}}{2}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(=\sqrt{a+b+c-\left(\left(\dfrac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}\right)^2-2.\dfrac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}.\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{3+\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}\)
\(\le\sqrt{3+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{7}{2}}\)
Dấu = xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}b=c\\\sqrt{b}+\sqrt{c}=1\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2,5\\b=c=0,25\end{matrix}\right.\)
PS: Bài giải đây nhé Ace Legona
Tối qua thấy bài này rồi mà giờ cũng chưa ai làm nhỉ?
Viết mở bài của câu chuyện về cuộc giao chiến của Sơn Tinh và Thuỷ Tinh
Thôi cho you đáp số ngoài này đi chứ trong kia nó lỗi.
\(D_{max}=\sqrt{\dfrac{7}{2}}\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2,5\\b=c=0,25\end{matrix}\right.\)
PS: Lười lắm không làm đâu.
Giải bằng điện thoại nên bên hoc24 không giải được. Nên t giải bên olm nhé. Link nè
https://olm.vn/hoi-dap/question/972312.html
