Question

Cho a, b, c, là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \(\dfrac{7+2b}{1+a}+\dfrac{7+2c}{1+b}+\dfrac{7+2a}{1+c}\)

Answer 1

\(a+b+c=2\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{4}{3}\)

\(P=\dfrac{7+2b}{1+a}+\dfrac{7+2c}{1+b}+\dfrac{7+2a}{1+c}\)

\(\ge\dfrac{\left(21+2\left(a+b+c\right)\right)^2}{\left(1+a\right)\left(7+2b\right)+\left(1+b\right)\left(7+2c\right)+\left(1+c\right)\left(7+2a\right)}\)

\(=\dfrac{25^2}{21+9\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{25^2}{21+9.2+\dfrac{2.4}{3}}=15\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)