Question

Cho a, b, c dương thoả mãn a+b+c=1

cmr: \(c+ab\ge\left(c+\sqrt{ab}\right)^2\)

Answer 1

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(c\ge2\sqrt{ab}c+c^2\)

\(\Leftrightarrow c+2\sqrt{ab}\le1\) (Do c > 0).

BĐT trên luôn đúng vì: \(c+2\sqrt{ab}\le_{Cauchy}c+a+b=1\).

Vậy ta có đpcm.

Answer 2

\(c+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(=\left(\sqrt{c}^2+\sqrt{a}^2\right)\left(\sqrt{c}^2+\sqrt{b}^2\right)\ge\left(c+\sqrt{ab}\right)^2\)