Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thiện Minh

Cho a, b, c > 0 .CMR: \(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ac}{a+c}\)\(\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

Linh Linh
27 tháng 2 2018 lúc 21:25

Ta có:\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{ab+b^2-b^2}{a+b}=\dfrac{b\left(a+b\right)-b^2}{a+b}=b-\dfrac{b^2}{a+b}\)

Tương tự với các vế ta được:

\(\dfrac{bc}{b+c}=c-\dfrac{c^2}{b+c}\)\(\dfrac{ac}{a+c}=a-\dfrac{a^2}{a+c}\)

Cộng theo vế:

\(VT=a+b+c-\left(\dfrac{b^2}{a+b}+\dfrac{c^2}{b+c}+\dfrac{a^2}{a+c}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(VT\le a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Phan Đình Trường
Xem chi tiết
My Phạm
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
noname
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
Leo
Xem chi tiết
Dũng Phạm Tiến
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết