Question

Cho 3 số thực x;y;z thõa mãn x+y+z=0 , x²+y²+z²=8. Tìm Min S= |x| + |y| + |z|

Answer 1

Không biết thêm ĐK \(x^2+y^2+z^2=8\) vào làm gì =,=!

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left| c\right|\ge\left|a+b+c\right|\) (bạn tự chứng minh)

Ta có: \(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y+z\right|=0\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 0

Answer 2

Tham khảo nhé :))

\(x+y+z=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y=-z\)\(S=\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y\right|+\left|z\right|=\left|-z\right|+\left|z\right|\ge\left|-z+z\right|=\left|0\right|=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}xy\ge0\left(1\right)\\-z^2\ge0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\y\le0\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(z=0\)

Suy ra \(x^2+y^2=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(-z\right)^2-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(-2xy=8\)

\(\Leftrightarrow\)\(xy=-4\)

\(\Leftrightarrow\)\(y=\dfrac{-4}{x}\)

Lại có \(x+y=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+\dfrac{-4}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x^2-4}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-4}{2}=-2\\y=\dfrac{-4}{-2}=2\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của \(S\) là \(0\) khi \(\left(x,y,z\right)=\left\{\left(2;-2;0\right),\left(-2;2;0\right)\right\}\)

Chúc bạn học tốt ~

Answer 3

Trong 3 số x,y,z chắc chắn có 2 số cùng dấu, hoặc cùng dương hoặc cùng âm. Ta có thể giả sử đó là x và y thì \(xy\ge0\)

Từ gỉa thiết : \(8=x^2+y^2+\left(x+y\right)^2=2\left(x+y\right)^2-2xy\le2\left(x+y\right)^2\)

do đó \(\left|x+y\right|\ge2\)

\(VT=\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|x+y\right|+\left|z\right|=2\left|x+y\right|\ge4\)(x+y+z=0)

Dấu = xảy ra:\(\left\{{}\begin{matrix}xy=0\\\left|x+y\right|=2\\\left|z\right|=2\end{matrix}\right.\), cùng các hoán vị của điều ta giả sử , ta suy ra Min đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2;0;-2\right)\)và các hoán vị