Question

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c =1

Chứng minh rằng \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>4\)

Answer 1

áp dụng bất đẳng thức cauchy schwarz

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2\cdot1}=\frac{9}{2}>4\)

suy ra điều phải chứng minh

Answer 2

Cách 2:

VT=\(\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-a}\)\(\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}\)

mà \(\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\le\frac{3-\left(a+b+c\right)}{3}\)\(=\frac{2}{3}\)

=>\(VT\ge\frac{3}{\frac{2}{3}}=\frac{9}{2}>4\)