Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Duc Khuat

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a+b\le c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Diệu Huyền
26 tháng 1 2020 lúc 22:35

Cách này được không ạ?

\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+c^2\right]\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\frac{1}{c^2}\right]\)

\(\Rightarrow P\ge\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+c^2\right]\left[\frac{1}{2}\left(\frac{4}{a+b}\right)^2+\frac{1}{c^2}\right]\)

\(\Rightarrow P\ge\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+c^2\right]\left[\frac{8}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{c^2}\right]\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\c=y\end{matrix}\right.\Rightarrow x\le y\)

\(\Rightarrow P\ge\left(\frac{x^2}{2}+y^2\right)\left(\frac{8}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge4+1+\frac{8y^2}{x^2}+\frac{x^2}{2y^2}\)

\(\Rightarrow P\ge5+\frac{15y^2}{2x^2}+\frac{1}{2}\left(\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge5+\frac{15}{2}+\frac{1}{2}.2\sqrt{\frac{y^2}{x^2}.\frac{x^2}{y^2}}\left(y\ge x\right)\)

\(\Rightarrow P\ge5+\frac{15}{2}+\frac{1}{2}.2\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{27}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{c}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Thành Trương
27 tháng 1 2020 lúc 7:53

Ta có:

\( P = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) + {c^2}\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} \right) + \dfrac{1}{{{c^2}}}\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + 3\\ P = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) + \left( {\dfrac{{{c^2}}}{{16{a^2}}} + \dfrac{{{a^3}}}{{{c^2}}}} \right) + \left( {\dfrac{{{c^2}}}{{16{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}}} \right) + \dfrac{{15{c^2}}}{{16}}\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} \right) \)

Tự tiếp nhé!

Khách vãng lai đã xóa
Diệu Huyền
26 tháng 1 2020 lúc 17:29

Ta dự đoán: \(Min_P\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a=b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=\frac{c}{2}\)

Từ trên ta suy ra được:

Ta có: \(P=\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+c^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{1}{c^2}\left(a^2+b^2\right)+3\)

\(P=\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)+\left(\frac{c^2}{16a^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)+\left(\frac{c^2}{16b^2}+\frac{b^2}{c^2}\right)+\frac{15c^2}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)

\(\Rightarrow Min_P=\frac{27}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{c}{2}\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Rose Princess
Xem chi tiết
Trương Đạt
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Phạm Trần Minh Trí
Xem chi tiết
trần trác tuyền
Xem chi tiết