Question

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(b^2+c^2\le a^2\). tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\geq \frac{b^2+c^2}{a^2}+a^2.\frac{4}{b^2+c^2}(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}\geq 2\)

\(\frac{3a^2}{b^2+c^2}\geq 3\) do $a^2\geq b^2+c^2$
$\Rightarrow \frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{4a^2}{b^2+c^2}\geq 5(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq 5$ hay $P_{\min}=5$

Dấu "=" xảy ra khi $b=c=\frac{a}{\sqrt{2}}$